<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <title>Center of Mass Calculation</title>
  <style>
    * { box-sizing: border-box; margin: 0; padding: 0; }
    body {
      font-family: system-ui, -apple-system, BlinkMacSystemFont, "Segoe UI", Roboto, sans-serif;
      background: transparent;
      color: #1e293b;
      padding: 8px 12px;
      display: flex;
      flex-direction: column;
      gap: 8px;
    }

    /* Tab Controls */
    .controls {
      display: flex;
      gap: 6px;
      justify-content: center;
      flex-wrap: wrap;
    }
    .tab-btn {
      background: #f1f5f9;
      border: 1px solid #cbd5e1;
      padding: 4px 10px;
      border-radius: 6px;
      font-size: 12px;
      font-weight: 600;
      color: #475569;
      cursor: pointer;
      transition: background 0.15s ease, border-color 0.15s ease, color 0.15s ease;
    }
    .tab-btn:hover {
      background: #e2e8f0;
      border-color: #94a3b8;
    }
    .tab-btn.active {
      background: #2563eb;
      color: #ffffff;
      border-color: #2563eb;
    }

    /* Layout */
    .main-grid {
      display: grid;
      grid-template-columns: 1fr 1fr;
      gap: 12px;
      align-items: center;
    }
    @media (max-width: 580px) {
      .main-grid {
        grid-template-columns: 1fr;
        gap: 8px;
      }
    }

    /* Coordinate Frame Container */
    .graph-container {
      position: relative;
      width: 100%;
      max-width: 320px;
      margin: 0 auto;
      aspect-ratio: 1 / 1;
      display: flex;
      align-items: center;
      justify-content: center;
    }
    svg {
      width: 100%;
      height: 100%;
      overflow: visible;
    }

    /* Formula Panel */
    .calc-panel {
      display: flex;
      flex-direction: column;
      gap: 6px;
      font-size: 13px;
    }

    .calc-row {
      padding: 6px 10px;
      border-radius: 6px;
      background: #f8fafc;
      border-left: 3px solid #cbd5e1;
      transition: background 0.2s ease, border-color 0.2s ease;
    }
    .calc-row.active {
      background: #eff6ff;
      border-left-color: #2563eb;
    }
    .calc-row.cm-highlight {
      background: #fefce8;
      border-left-color: #eab308;
    }

    .calc-title {
      font-weight: 700;
      font-size: 11px;
      text-transform: uppercase;
      letter-spacing: 0.5px;
      color: #64748b;
      margin-bottom: 2px;
    }

    /* Math typography styling */
    .math-expr {
      display: flex;
      align-items: center;
      flex-wrap: wrap;
      gap: 3px;
      font-family: "Cambria Math", "Times New Roman", serif;
      font-size: 13.5px;
      color: #0f172a;
      line-height: 1.2;
    }
    .math-frac {
      display: inline-flex;
      flex-direction: column;
      vertical-align: middle;
      text-align: center;
      padding: 0 2px;
    }
    .math-num {
      border-bottom: 1px solid #334155;
      padding-bottom: 1px;
      font-size: 12.5px;
    }
    .math-den {
      padding-top: 1px;
      font-size: 12.5px;
    }
    .var { font-style: italic; }
    .sub { font-size: 0.8em; vertical-align: sub; }

    /* SVG Styles */
    .grid-line { stroke: #e2e8f0; stroke-width: 1; }
    .axis { stroke: #475569; stroke-width: 1.5; }
    .axis-label { font-size: 10px; fill: #64748b; font-family: monospace; }
    .proj-x { stroke: #3b82f6; stroke-dasharray: 3,3; stroke-width: 1.2; opacity: 0.6; }
    .proj-y { stroke: #10b981; stroke-dasharray: 3,3; stroke-width: 1.2; opacity: 0.6; }
    .proj-cm { stroke: #eab308; stroke-dasharray: 3,3; stroke-width: 1.5; }
    
    .particle { cursor: pointer; transition: opacity 0.2s ease; }
    .particle:hover { opacity: 0.85; }
    .mass-tag { font-size: 10px; font-weight: 700; fill: #ffffff; text-anchor: middle; dominant-baseline: central; pointer-events: none; }
    .coord-label { font-size: 9.5px; font-weight: 600; fill: #1e293b; pointer-events: none; }
    .cm-star {
      filter: drop-shadow(0 0 5px rgba(234, 179, 8, 0.9));
      cursor: pointer;
      transition: opacity 0.2s ease;
    }
    .cm-star:hover { opacity: 0.85; }
  </style>
</head>
<body>

  
  <div class="controls">
    <button class="tab-btn active" onclick="setMode('all')">Overview</button>
    <button class="tab-btn" onclick="setMode('x')">X-Coordinates</button>
    <button class="tab-btn" onclick="setMode('y')">Y-Coordinates</button>
    <button class="tab-btn" onclick="setMode('cm')">Center of Mass</button>
  </div>

  <div class="main-grid">
    
    <div class="graph-container">
      <svg id="plotSvg" viewBox="0 0 300 290">
        

        
        <g id="grid">
          
          <line x1="35" y1="210" x2="285" y2="210" class="grid-line" />
          <line x1="35" y1="165" x2="285" y2="165" class="grid-line" />
          <line x1="35" y1="120" x2="285" y2="120" class="grid-line" />
          <line x1="35" y1="75"  x2="285" y2="75"  class="grid-line" />
          <line x1="35" y1="30"  x2="285" y2="30"  class="grid-line" />
          
          <line x1="80"  y1="255" x2="80"  y2="15" class="grid-line" />
          <line x1="125" y1="255" x2="125" y2="15" class="grid-line" />
          <line x1="170" y1="255" x2="170" y2="15" class="grid-line" />
          <line x1="215" y1="255" x2="215" y2="15" class="grid-line" />
          <line x1="260" y1="255" x2="260" y2="15" class="grid-line" />
        </g>

        
        <line x1="35" y1="255" x2="285" y2="255" class="axis" />
        <line x1="35" y1="255" x2="35" y2="15" class="axis" />

        
        <g class="axis-label" text-anchor="middle">
          <text x="35" y="268">0</text>
          <text x="80" y="268">1</text>
          <text x="125" y="268">2</text>
          <text x="170" y="268">3</text>
          <text x="215" y="268">4</text>
          <text x="260" y="268">5</text>
          <text x="282" y="268" font-weight="bold">x</text>
        </g>
        <g class="axis-label" text-anchor="end" dominant-baseline="central">
          <text x="28" y="210">1</text>
          <text x="28" y="165">2</text>
          <text x="28" y="120">3</text>
          <text x="28" y="75">4</text>
          <text x="28" y="30">5</text>
          <text x="28" y="15" font-weight="bold">y</text>
        </g>

        
        
        <g id="proj-m1">
          <line x1="80" y1="210" x2="80" y2="255" class="proj-x" />
          <line x1="80" y1="210" x2="35" y2="210" class="proj-y" />
        </g>

        
        <g id="proj-m2">
          <line x1="215" y1="210" x2="215" y2="255" class="proj-x" />
          <line x1="215" y1="210" x2="35"  y2="210" class="proj-y" />
        </g>

        
        <g id="proj-m3">
          <line x1="125" y1="30" x2="125" y2="255" class="proj-x" />
          <line x1="125" y1="30" x2="35"  y2="30"  class="proj-y" />
        </g>

        
        <g id="proj-cm">
          <line x1="147.5" y1="120" x2="147.5" y2="255" class="proj-cm" />
          <line x1="147.5" y1="120" x2="35"    y2="120" class="proj-cm" />
        </g>

        
        <polygon points="80,210 215,210 125,30" fill="#3b82f6" fill-opacity="0.04" stroke="#94a3b8" stroke-dasharray="4,4" stroke-width="1" />

        
        
        <g id="particle-m1" class="particle" onclick="highlightPart('m1')">
          <circle cx="80" cy="210" r="10" fill="#3b82f6" />
          <text x="80" y="210" class="mass-tag">1kg</text>
          <text x="80" y="194" text-anchor="middle" class="coord-label">m₁ (1, 1)</text>
        </g>

        
        <g id="particle-m2" class="particle" onclick="highlightPart('m2')">
          <circle cx="215" cy="210" r="13" fill="#2563eb" />
          <text x="215" y="210" class="mass-tag">2kg</text>
          <text x="215" y="191" text-anchor="middle" class="coord-label">m₂ (4, 1)</text>
        </g>

        
        <g id="particle-m3" class="particle" onclick="highlightPart('m3')">
          <circle cx="125" cy="30" r="15" fill="#1d4ed8" />
          <text x="125" y="30" class="mass-tag">3kg</text>
          <text x="125" y="11" text-anchor="middle" class="coord-label">m₃ (2, 5)</text>
        </g>

        
        <g id="cm-marker" class="cm-star" onclick="setMode('cm')">
          <polygon points="147.5,108 151,116 159.5,117 153,123 155,131.5 147.5,127 140,131.5 142,123 135.5,117 144,116" fill="#eab308" stroke="#b45309" stroke-width="1.2" />
          <text x="156" y="108" class="coord-label" fill="#854d0e" font-weight="700">CM (2.5, 3.0)</text>
        </g>
      </svg>
    </div>

    
    <div class="calc-panel">
      
      <div id="row-total" class="calc-row">
        <div class="calc-title">Total Mass</div>
        <div class="math-expr">
          <span class="var">M</span> = <span class="var">m</span><span class="sub">1</span> + <span class="var">m</span><span class="sub">2</span> + <span class="var">m</span><span class="sub">3</span> = 1 + 2 + 3 = <strong>6 kg</strong>
        </div>
      </div>

      
      <div id="row-x" class="calc-row">
        <div class="calc-title">X-Coordinate Center</div>
        <div class="math-expr">
          <span class="var">X</span><span class="sub">cm</span> = 
          <div class="math-frac">
            <span class="math-num">1(1) + 2(4) + 3(2)</span>
            <span class="math-den">6</span>
          </div>
          =
          <div class="math-frac">
            <span class="math-num">15</span>
            <span class="math-den">6</span>
          </div>
          = <strong>2.5</strong>
        </div>
      </div>

      
      <div id="row-y" class="calc-row">
        <div class="calc-title">Y-Coordinate Center</div>
        <div class="math-expr">
          <span class="var">Y</span><span class="sub">cm</span> = 
          <div class="math-frac">
            <span class="math-num">1(1) + 2(1) + 3(5)</span>
            <span class="math-den">6</span>
          </div>
          =
          <div class="math-frac">
            <span class="math-num">18</span>
            <span class="math-den">6</span>
          </div>
          = <strong>3.0</strong>
        </div>
      </div>

      
      <div id="row-cm" class="calc-row cm-highlight">
        <div class="calc-title">Center of Mass Coordinate</div>
        <div class="math-expr">
          (<span class="var">X</span><span class="sub">cm</span>, <span class="var">Y</span><span class="sub">cm</span>) = <strong>(2.5, 3.0)</strong>
        </div>
      </div>
    </div>
  </div>

  <script>
    // View Modes
    function setMode(mode) {
      document.querySelectorAll('.tab-btn').forEach(btn => btn.classList.remove('active'));
      const activeBtn = Array.from(document.querySelectorAll('.tab-btn')).find(b => 
        (mode === 'all' && b.textContent.includes('Overview')) ||
        (mode === 'x' && b.textContent.includes('X-')) ||
        (mode === 'y' && b.textContent.includes('Y-')) ||
        (mode === 'cm' && b.textContent.includes('Center'))
      );
      if (activeBtn) activeBtn.classList.add('active');

      const rowX = document.getElementById('row-x');
      const rowY = document.getElementById('row-y');
      const rowTotal = document.getElementById('row-total');
      const rowCm = document.getElementById('row-cm');
      const projCm = document.getElementById('proj-cm');
      const projX = document.querySelectorAll('.proj-x');
      const projY = document.querySelectorAll('.proj-y');
      const particles = document.querySelectorAll('.particle');

      // Reset styles
      rowX.classList.remove('active');
      rowY.classList.remove('active');
      rowTotal.classList.remove('active');
      rowCm.classList.remove('cm-highlight');
      particles.forEach(p => p.style.opacity = '1');

      if (mode === 'all') {
        projCm.style.display = 'block';
        projX.forEach(el => el.style.opacity = '0.6');
        projY.forEach(el => el.style.opacity = '0.6');
        rowCm.classList.add('cm-highlight');
      } else if (mode === 'x') {
        projCm.style.display = 'none';
        projX.forEach(el => el.style.opacity = '1');
        projY.forEach(el => el.style.opacity = '0.1');
        rowX.classList.add('active');
      } else if (mode === 'y') {
        projCm.style.display = 'none';
        projX.forEach(el => el.style.opacity = '0.1');
        projY.forEach(el => el.style.opacity = '1');
        rowY.classList.add('active');
      } else if (mode === 'cm') {
        projCm.style.display = 'block';
        projX.forEach(el => el.style.opacity = '0.15');
        projY.forEach(el => el.style.opacity = '0.15');
        rowCm.classList.add('cm-highlight');
      }
    }

    function highlightPart(id) {
      const p1 = document.getElementById('particle-m1');
      const p2 = document.getElementById('particle-m2');
      const p3 = document.getElementById('particle-m3');
      
      [p1, p2, p3].forEach(p => p.style.opacity = (p.id === 'particle-' + id) ? '1' : '0.35');
      setTimeout(() => {
        [p1, p2, p3].forEach(p => p.style.opacity = '1');
      }, 1500);
    }
  </script>
</body>
</html>

Center of Mass Calculations for Discrete and Continuous Systems

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <meta name="aspect-ratio" content="4:3">
  <link rel="stylesheet" href="{{VENDOR_CDN}}/katex.min.css" />
  <script src="{{VENDOR_CDN}}/katex.min.js"></script>
  <style>
    * { box-sizing: border-box; margin: 0; padding: 0; }
    body {
      font-family: system-ui, -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe UI', Roboto, sans-serif;
      color: #1e2945;
      background: #ffffff;
      padding: 12px;
      display: flex;
      flex-direction: column;
      gap: 12px;
    }

    .nav-tabs {
      display: flex;
      justify-content: center;
      gap: 8px;
    }

    .tab-btn {
      background: #f1f5f9;
      border: 1px solid #cbd5e1;
      color: #475569;
      padding: 6px 14px;
      font-size: 13px;
      font-weight: 600;
      border-radius: 20px;
      cursor: pointer;
      transition: all 0.2s ease;
    }

    .tab-btn.active {
      background: #2563eb;
      border-color: #2563eb;
      color: #ffffff;
    }

    .main-grid {
      display: grid;
      grid-template-columns: 1fr auto 1fr;
      gap: 10px;
      align-items: stretch;
    }

    @media (max-width: 580px) {
      .main-grid {
        grid-template-columns: 1fr;
        gap: 12px;
      }
      .transition-arrow {
        transform: rotate(90deg);
        margin: 4px auto;
      }
    }

    .panel {
      background: #f8fafc;
      border: 1px solid #e2e8f0;
      border-radius: 12px;
      padding: 12px 10px;
      display: flex;
      flex-direction: column;
      justify-content: space-between;
      gap: 10px;
      position: relative;
    }

    .panel.highlighted {
      border-color: #93c5fd;
      background: #f0f7ff;
    }

    .panel-header {
      display: flex;
      justify-content: space-between;
      align-items: center;
      font-size: 13px;
      font-weight: 700;
      color: #334155;
      border-bottom: 1px solid #e2e8f0;
      padding-bottom: 6px;
    }

    .badge {
      font-size: 11px;
      padding: 2px 8px;
      border-radius: 6px;
      font-weight: 700;
      text-transform: uppercase;
      letter-spacing: 0.5px;
    }
    .badge-discrete { background: #e0e7ff; color: #3730a3; }
    .badge-continuous { background: #ccfbf1; color: #115e59; }

    .canvas-wrap {
      width: 100%;
      height: 110px;
      background: #ffffff;
      border: 1px solid #e2e8f0;
      border-radius: 8px;
      position: relative;
      overflow: hidden;
    }

    svg {
      width: 100%;
      height: 100%;
      display: block;
    }

    .transition-col {
      display: flex;
      flex-direction: column;
      justify-content: center;
      align-items: center;
      gap: 8px;
      padding: 0 4px;
    }

    .arrow-icon {
      width: 32px;
      height: 32px;
      border-radius: 50%;
      background: #eff6ff;
      border: 1px solid #bfdbfe;
      display: flex;
      align-items: center;
      justify-content: center;
      color: #2563eb;
      font-size: 16px;
      font-weight: bold;
    }

    .bridge-box {
      background: #ffffff;
      border: 1px dashed #94a3b8;
      border-radius: 8px;
      padding: 6px 8px;
      font-size: 12px;
      text-align: center;
      color: #475569;
      display: flex;
      flex-direction: column;
      gap: 4px;
    }

    .formula-box {
      background: #ffffff;
      border: 1px solid #cbd5e1;
      border-radius: 8px;
      padding: 8px 6px;
      min-height: 48px;
      display: flex;
      align-items: center;
      justify-content: center;
      text-align: center;
    }

    .interactive-slider-box {
      background: #f8fafc;
      border: 1px solid #e2e8f0;
      border-radius: 10px;
      padding: 8px 12px;
      display: flex;
      align-items: center;
      justify-content: space-between;
      gap: 12px;
      font-size: 12px;
      color: #475569;
    }

    .slider-label {
      font-weight: 600;
      white-space: nowrap;
    }

    input[type=range] {
      flex: 1;
      accent-color: #2563eb;
      cursor: pointer;
    }
  </style>
</head>
<body>

  <div class="nav-tabs">
    <button class="tab-btn active" id="btnBoth" onclick="setMode('compare')">Comparison</button>
    <button class="tab-btn" id="btnDiscrete" onclick="setMode('discrete')">Discrete</button>
    <button class="tab-btn" id="btnContinuous" onclick="setMode('continuous')">Continuous</button>
  </div>

  <div class="main-grid">
    
    <div class="panel" id="panelDiscrete">
      <div class="panel-header">
        <span>Point Masses</span>
        <span class="badge badge-discrete">Discrete</span>
      </div>

      <div class="canvas-wrap">
        <svg viewBox="0 0 240 100" id="discreteSvg">
          
          <line x1="15" y1="70" x2="225" y2="70" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="2,2"/>
          <polygon points="225,67 232,70 225,73" fill="#94a3b8"/>
          <text x="232" y="85" font-size="10" fill="#64748b" text-anchor="end">x</text>

          
          <line x1="35" y1="67" x2="35" y2="73" stroke="#64748b" stroke-width="1.5"/>
          <line x1="85" y1="67" x2="85" y2="73" stroke="#64748b" stroke-width="1.5"/>
          <line x1="145" y1="67" x2="145" y2="73" stroke="#64748b" stroke-width="1.5"/>
          <line x1="195" y1="67" x2="195" y2="73" stroke="#64748b" stroke-width="1.5"/>

          <text x="35" y="84" font-size="9" fill="#64748b" text-anchor="middle">x₁</text>
          <text x="85" y="84" font-size="9" fill="#64748b" text-anchor="middle">x₂</text>
          <text x="145" y="84" font-size="9" fill="#64748b" text-anchor="middle">x₃</text>
          <text x="195" y="84" font-size="9" fill="#64748b" text-anchor="middle">x₄</text>

          
          
          <rect x="25" y="44" width="20" height="20" rx="3" fill="#3b82f6" fill-opacity="0.85" stroke="#1d4ed8" stroke-width="1.5"/>
          <text x="35" y="58" font-size="9" fill="#ffffff" font-weight="bold" text-anchor="middle">m₁</text>

          
          <rect x="73" y="38" width="24" height="26" rx="3" fill="#3b82f6" fill-opacity="0.85" stroke="#1d4ed8" stroke-width="1.5"/>
          <text x="85" y="54" font-size="9" fill="#ffffff" font-weight="bold" text-anchor="middle">m₂</text>

          
          <rect x="137" y="48" width="16" height="16" rx="3" fill="#3b82f6" fill-opacity="0.85" stroke="#1d4ed8" stroke-width="1.5"/>
          <text x="145" y="60" font-size="8" fill="#ffffff" font-weight="bold" text-anchor="middle">m₃</text>

          
          <rect x="181" y="32" width="28" height="32" rx="3" fill="#3b82f6" fill-opacity="0.85" stroke="#1d4ed8" stroke-width="1.5"/>
          <text x="195" y="51" font-size="10" fill="#ffffff" font-weight="bold" text-anchor="middle">m₄</text>

          
          <polygon points="126,70 121,78 131,78" fill="#e11d48"/>
          <text x="126" y="20" font-size="9" fill="#e11d48" font-weight="bold" text-anchor="middle">x_cm</text>
          <line x1="126" y1="23" x2="126" y2="68" stroke="#e11d48" stroke-width="1" stroke-dasharray="2,2"/>
        </svg>
      </div>

      <div class="formula-box" id="discreteMath"></div>
    </div>

    
    <div class="transition-col">
      <div class="arrow-icon transition-arrow">→</div>
      <div class="bridge-box">
        <span id="mathBridge1"></span>
        <span id="mathBridge2"></span>
        <span id="mathBridge3"></span>
      </div>
    </div>

    
    <div class="panel" id="panelContinuous">
      <div class="panel-header">
        <span>Continuous Body</span>
        <span class="badge badge-continuous">Continuous</span>
      </div>

      <div class="canvas-wrap">
        <svg viewBox="0 0 240 100" id="continuousSvg">
          
          <line x1="15" y1="70" x2="225" y2="70" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="2,2"/>
          <polygon points="225,67 232,70 225,73" fill="#94a3b8"/>
          <text x="232" y="85" font-size="10" fill="#64748b" text-anchor="end">x</text>

          
          <defs>
            <linearGradient id="rodGrad" x1="0%" y1="0%" x2="100%" y2="0%">
              <stop offset="0%" stop-color="#99f6e4" />
              <stop offset="100%" stop-color="#0d9488" />
            </linearGradient>
          </defs>
          <rect x="25" y="42" width="180" height="22" rx="4" fill="url(#rodGrad)" stroke="#0f766e" stroke-width="1.5"/>

          
          <g id="elementGroup" transform="translate(110, 0)">
            <rect x="0" y="40" width="12" height="26" rx="2" fill="#f59e0b" stroke="#b45309" stroke-width="1.5"/>
            
            <line x1="0" y1="36" x2="12" y2="36" stroke="#b45309" stroke-width="1.2"/>
            <line x1="0" y1="33" x2="0" y2="39" stroke="#b45309" stroke-width="1.2"/>
            <line x1="12" y1="33" x2="12" y2="39" stroke="#b45309" stroke-width="1.2"/>
            <text x="6" y="28" font-size="8.5" fill="#b45309" font-weight="bold" text-anchor="middle">dx</text>
            
            <text x="6" y="56" font-size="7.5" fill="#ffffff" font-weight="bold" text-anchor="middle">dm</text>
            
            <line x1="6" y1="67" x2="6" y2="73" stroke="#b45309" stroke-width="1.5"/>
            <text x="6" y="84" font-size="9" fill="#b45309" font-weight="bold" text-anchor="middle">x</text>
          </g>

          
          <text x="115" y="16" font-size="8.5" fill="#0f766e" font-weight="600" text-anchor="middle">dm = λ · dx</text>

          
          <polygon points="135,70 130,78 140,78" fill="#e11d48"/>
          <text x="135" y="94" font-size="9" fill="#e11d48" font-weight="bold" text-anchor="middle">x_cm</text>
        </svg>
      </div>

      <div class="formula-box" id="continuousMath"></div>
    </div>
  </div>

  <div class="interactive-slider-box">
    <span class="slider-label">Move Element <span style="color:#b45309;font-weight:bold;">dm</span>:</span>
    <input type="range" id="elemSlider" min="30" max="185" value="110" oninput="updateElementPos(this.value)">
    <span id="posValue" style="min-width:40px; font-variant-numeric: tabular-nums; font-weight:600;">x = 0.50 L</span>
  </div>

  <script>
    function renderMath() {
      if (typeof katex !== 'undefined') {
        katex.render("x_{\\text{cm}} = \\frac{\\sum m_i x_i}{M}", document.getElementById('discreteMath'), { displayMode: true, throwOnError: false });
        katex.render("x_{\\text{cm}} = \\frac{1}{M} \\int x \\, dm", document.getElementById('continuousMath'), { displayMode: true, throwOnError: false });
        katex.render("\\Delta m_i \\to dm", document.getElementById('mathBridge1'), { throwOnError: false });
        katex.render("\\Delta x_i \\to dx", document.getElementById('mathBridge2'), { throwOnError: false });
        katex.render("\\sum \\to \\int", document.getElementById('mathBridge3'), { throwOnError: false });
      } else {
        document.getElementById('discreteMath').innerHTML = '<b>x<sub>cm</sub> = Σ(m<sub>i</sub> x<sub>i</sub>) / M</b>';
        document.getElementById('continuousMath').innerHTML = '<b>x<sub>cm</sub> = (1/M) ∫ x dm</b>';
        document.getElementById('mathBridge1').textContent = 'Δm → dm';
        document.getElementById('mathBridge2').textContent = 'Δx → dx';
        document.getElementById('mathBridge3').textContent = 'Σ → ∫';
      }
    }

    function setMode(mode) {
      const pDisc = document.getElementById('panelDiscrete');
      const pCont = document.getElementById('panelContinuous');
      const bBoth = document.getElementById('btnBoth');
      const bDisc = document.getElementById('btnDiscrete');
      const bCont = document.getElementById('btnContinuous');

      bBoth.classList.remove('active');
      bDisc.classList.remove('active');
      bCont.classList.remove('active');
      pDisc.classList.remove('highlighted');
      pCont.classList.remove('highlighted');

      if (mode === 'discrete') {
        bDisc.classList.add('active');
        pDisc.classList.add('highlighted');
      } else if (mode === 'continuous') {
        bCont.classList.add('active');
        pCont.classList.add('highlighted');
      } else {
        bBoth.classList.add('active');
      }
    }

    function updateElementPos(val) {
      const g = document.getElementById('elementGroup');
      g.setAttribute('transform', `translate(${val}, 0)`);
      const ratio = ((val - 25) / 180).toFixed(2);
      document.getElementById('posValue').textContent = `x = ${ratio} L`;
    }

    window.addEventListener('DOMContentLoaded', renderMath);
  </script>
</body>
</html>

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <meta name="aspect-ratio" content="4:3">
  <style>
    * { box-sizing: border-box; margin: 0; padding: 0; }
    body {
      background-color: #f8f9fa;
      color: #1e2945;
      font-family: system-ui, -apple-system, sans-serif;
      display: flex;
      flex-direction: column;
      align-items: center;
      justify-content: center;
      min-height: 100vh;
      max-height: 480px;
      padding: 12px 16px;
      user-select: none;
      gap: 8px;
    }

    .controls {
      display: flex;
      gap: 8px;
      width: 100%;
      max-width: 480px;
      justify-content: center;
    }

    .btn {
      flex: 1;
      padding: 7px 10px;
      font-size: 13px;
      font-weight: 600;
      border: 1px solid #d1d5db;
      border-radius: 8px;
      background: #ffffff;
      color: #1e2945;
      cursor: pointer;
      box-shadow: 0 1px 2px rgba(0,0,0,0.05);
      transition: background 0.2s, border-color 0.2s, color 0.2s;
      text-align: center;
      line-height: 1.2;
    }

    .btn.active {
      background: #22b7ff;
      border-color: #0099e6;
      color: #ffffff;
    }

    .stage-container {
      width: 100%;
      max-width: 520px;
      height: 220px;
      position: relative;
      display: flex;
      align-items: center;
      justify-content: center;
    }

    svg {
      width: 100%;
      height: 100%;
      overflow: visible;
    }

    .bat-group {
      transform-origin: 360px 130px;
      transition: transform 0.6s cubic-bezier(0.34, 1.3, 0.64, 1);
    }

    .pivot-group {
      transition: transform 0.4s ease;
    }

    .force-arrow {
      transition: opacity 0.3s ease, transform 0.4s ease;
    }

    .label-tag {
      font-size: 11px;
      font-weight: 700;
      letter-spacing: 0.2px;
    }

    .status-pill {
      padding: 5px 14px;
      font-size: 12px;
      font-weight: 600;
      border-radius: 20px;
      background: #e2e8f0;
      color: #475569;
      transition: all 0.3s;
      text-align: center;
    }

    .status-pill.balanced {
      background: #dcfce7;
      color: #166534;
    }

    .status-pill.unbalanced {
      background: #fee2e2;
      color: #991b1b;
    }

    @media (max-width: 400px) {
      .btn {
        font-size: 11px;
        padding: 6px 6px;
      }
      .stage-container {
        height: 190px;
      }
    }
  </style>
</head>
<body>

  <div class="controls">
    <button id="btnCOM" class="btn active" onclick="setMode('com')">Pivot at CM (Balanced)</button>
    <button id="btnMid" class="btn" onclick="setMode('mid')">Pivot at Midpoint (L/2)</button>
  </div>

  <div class="stage-container">
    <svg viewBox="0 0 540 220">
      <defs>
        
        <linearGradient id="batGrad" x1="0%" y1="0%" x2="100%" y2="0%">
          <stop offset="0%" stop-color="#d4a373" />
          <stop offset="30%" stop-color="#dfb288" />
          <stop offset="85%" stop-color="#b88352" />
          <stop offset="100%" stop-color="#a26f3f" />
        </linearGradient>
        
        <marker id="arrowUp" markerWidth="6" markerHeight="6" refX="3" refY="1" orient="auto">
          <path d="M0,6 L3,0 L6,6 Z" fill="#0284c7" />
        </marker>
        <marker id="arrowDown" markerWidth="6" markerHeight="6" refX="3" refY="5" orient="auto">
          <path d="M0,0 L3,6 L6,0 Z" fill="#ef4444" />
        </marker>
      </defs>

      
      <g id="batGroup" class="bat-group">
        
        
        <path d="M 50,126 
                 C 55,126 55,124 60,124 
                 L 160,124 
                 C 260,122 320,108 480,108 
                 C 492,108 494,114 494,130 
                 C 494,146 492,152 480,152 
                 C 320,152 260,138 160,136 
                 L 60,136 
                 C 55,136 55,134 50,134 
                 Z" 
              fill="url(#batGrad)" stroke="#8c5828" stroke-width="2" />
        
        
        <ellipse cx="50" cy="130" rx="3.5" ry="9" fill="#a26f3f" stroke="#8c5828" stroke-width="1.5"/>

        
        <g id="midMarker">
          <line x1="270" y1="58" x2="270" y2="168" stroke="#f87171" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,3" />
          <text x="270" y="50" text-anchor="middle" fill="#ef4444" class="label-tag">Midpoint (L/2)</text>
          <circle cx="270" cy="130" r="3.5" fill="#f87171" />
        </g>

        
        <g id="comMarker">
          <circle cx="360" cy="130" r="5.5" fill="#1e2945" />
          <circle cx="360" cy="130" r="2" fill="#ffffff" />
          
          <text x="372" y="96" text-anchor="start" fill="#1e2945" class="label-tag">Center of Mass</text>
        </g>

        
        <g id="forceMg" class="force-arrow">
          <line x1="360" y1="135" x2="360" y2="198" stroke="#ef4444" stroke-width="2.5" marker-end="url(#arrowDown)" />
          <text x="372" y="195" fill="#ef4444" font-weight="700" font-size="13">M·g</text>
        </g>
      </g>

      
      <g id="pivotGroup" class="pivot-group" transform="translate(360, 0)">
        
        <polygon points="0,136 -15,168 15,168" fill="#22b7ff" stroke="#0099e6" stroke-width="2" />
        
        <rect x="-22" y="168" width="44" height="5" rx="2" fill="#cbd5e1" />
        
        
        <g id="forceN" class="force-arrow">
          <line x1="0" y1="130" x2="0" y2="60" stroke="#0284c7" stroke-width="2.5" marker-end="url(#arrowUp)" />
          
          <text x="-16" y="66" text-anchor="end" fill="#0284c7" font-weight="700" font-size="14">N</text>
        </g>
      </g>

      
      <line x1="40" y1="185" x2="500" y2="185" stroke="#e2e8f0" stroke-width="2" stroke-linecap="round" />
    </svg>
  </div>

  <div id="status" class="status-pill balanced">✓ Equilibrium (Net Torque = 0)</div>

  <script>
    const batGroup = document.getElementById('batGroup');
    const pivotGroup = document.getElementById('pivotGroup');
    const btnCOM = document.getElementById('btnCOM');
    const btnMid = document.getElementById('btnMid');
    const status = document.getElementById('status');

    function setMode(mode) {
      if (mode === 'com') {
        // Balanced at Center of Mass (x = 360)
        btnCOM.classList.add('active');
        btnMid.classList.remove('active');
        
        pivotGroup.setAttribute('transform', 'translate(360, 0)');
        batGroup.style.transformOrigin = '360px 130px';
        batGroup.style.transform = 'rotate(0deg)';
        
        status.textContent = '✓ Equilibrium (Net Torque = 0)';
        status.className = 'status-pill balanced';
      } else {
        // Pivot shifted to Geometric Midpoint (x = 270) -> bat tips clockwise
        btnMid.classList.add('active');
        btnCOM.classList.remove('active');
        
        pivotGroup.setAttribute('transform', 'translate(270, 0)');
        batGroup.style.transformOrigin = '270px 130px';
        batGroup.style.transform = 'rotate(11deg)';
        
        status.textContent = '↷ Clockwise Torque (Unbalanced)';
        status.className = 'status-pill unbalanced';
      }
    }
  </script>
</body>
</html>

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
  <meta charset="UTF-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <meta name="aspect-ratio" content="4:3">
  <style>
    * { box-sizing: border-box; margin: 0; padding: 0; }
    body {
      font-family: system-ui, -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe UI', Roboto, sans-serif;
      background: #f8fafc;
      color: #1e2945;
      display: flex;
      flex-direction: column;
      align-items: center;
      padding: 12px;
      user-select: none;
    }

    .nav-tabs {
      display: flex;
      gap: 6px;
      margin-bottom: 12px;
      width: 100%;
      max-width: 520px;
    }

    .tab-btn {
      flex: 1;
      padding: 8px 4px;
      font-size: 13px;
      font-weight: 600;
      color: #64748b;
      background: #ffffff;
      border: 1px solid #e2e8f0;
      border-radius: 8px;
      cursor: pointer;
      text-align: center;
      transition: all 0.2s ease;
    }

    .tab-btn.active {
      background: #0284c7;
      color: #ffffff;
      border-color: #0284c7;
      box-shadow: 0 2px 4px rgba(2, 132, 199, 0.2);
    }

    .display-area {
      width: 100%;
      max-width: 520px;
      height: 280px;
      position: relative;
      background: #ffffff;
      border: 1px solid #e2e8f0;
      border-radius: 12px;
      overflow: hidden;
      display: flex;
      justify-content: center;
      align-items: center;
    }

    .panel {
      position: absolute;
      inset: 0;
      display: flex;
      flex-direction: column;
      align-items: center;
      justify-content: center;
      opacity: 0;
      pointer-events: none;
      transition: opacity 0.25s ease;
      padding: 10px;
    }

    .panel.active {
      opacity: 1;
      pointer-events: auto;
    }

    svg {
      width: 100%;
      height: 230px;
      overflow: visible;
    }

    .legend {
      display: flex;
      gap: 16px;
      font-size: 12px;
      font-weight: 600;
      color: #475569;
      margin-top: 10px;
    }

    .legend-item {
      display: flex;
      align-items: center;
      gap: 5px;
    }

    .sym-line-sample {
      width: 18px;
      height: 2px;
      border-top: 2px dashed #0284c7;
    }

    .com-dot-sample {
      width: 8px;
      height: 8px;
      border-radius: 50%;
      background: #ea580c;
      border: 1.5px solid #fff;
      box-shadow: 0 0 0 1px #ea580c;
    }
  </style>
</head>
<body>

  <div class="nav-tabs">
    <button class="tab-btn active" onclick="showTab(0)">Plate</button>
    <button class="tab-btn" onclick="showTab(1)">Ring</button>
    <button class="tab-btn" onclick="showTab(2)">L-Bracket</button>
  </div>

  <div class="display-area">
    
    <div class="panel active" id="panel-0">
      <svg viewBox="0 0 300 200">
        
        <rect x="70" y="45" width="160" height="110" rx="4" fill="#e0f2fe" stroke="#0284c7" stroke-width="2"/>
        
        
        <line x1="150" y1="20" x2="150" y2="180" stroke="#0284c7" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,4"/>
        <line x1="45" y1="100" x2="255" y2="100" stroke="#0284c7" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,4"/>
        
        
        <text x="150" y="16" fill="#0284c7" font-size="11" font-weight="600" text-anchor="middle">Symmetry axis</text>
        
        
        <circle cx="150" cy="100" r="14" fill="#ea580c" fill-opacity="0.15"/>
        <circle cx="150" cy="100" r="6" fill="#ea580c" stroke="#ffffff" stroke-width="1.5"/>
        <text x="150" y="126" fill="#ea580c" font-size="13" font-weight="700" text-anchor="middle">COM</text>
      </svg>
    </div>

    
    <div class="panel" id="panel-1">
      <svg viewBox="0 0 300 200">
        
        <path d="M 150 25 A 75 75 0 1 0 150 175 A 75 75 0 1 0 150 25 M 150 55 A 45 45 0 1 1 150 145 A 45 45 0 1 1 150 55 Z" 
              fill="#e0f2fe" fill-rule="evenodd" stroke="#0284c7" stroke-width="2"/>

        
        <line x1="150" y1="10" x2="150" y2="190" stroke="#0284c7" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,4"/>
        <line x1="55" y1="100" x2="245" y2="100" stroke="#0284c7" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,4"/>
        <line x1="83" y1="33" x2="217" y2="167" stroke="#0284c7" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,4" opacity="0.6"/>
        <line x1="83" y1="167" x2="217" y2="33" stroke="#0284c7" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,4" opacity="0.6"/>

        
        <text x="150" y="76" fill="#64748b" font-size="11" font-weight="600" text-anchor="middle">Empty Space</text>

        
        <circle cx="150" cy="100" r="14" fill="#ea580c" fill-opacity="0.15"/>
        <circle cx="150" cy="100" r="6" fill="#ea580c" stroke="#ffffff" stroke-width="1.5"/>
        <text x="150" y="126" fill="#ea580c" font-size="13" font-weight="700" text-anchor="middle">COM</text>
      </svg>
    </div>

    
    <div class="panel" id="panel-2">
      <svg viewBox="0 0 300 200">
        
        <rect x="75" y="30" width="36" height="135" rx="3" fill="#bae6fd" stroke="#0284c7" stroke-width="1.5"/>
        
        <rect x="111" y="129" width="105" height="36" rx="3" fill="#bae6fd" stroke="#0284c7" stroke-width="1.5"/>
        
        
        
        <circle cx="93" cy="97.5" r="4.5" fill="#0284c7" stroke="#ffffff" stroke-width="1.5"/>
        <text x="64" y="101" fill="#0284c7" font-size="10" font-weight="600" text-anchor="end">COM A</text>

        
        <circle cx="163.5" cy="147" r="4.5" fill="#0284c7" stroke="#ffffff" stroke-width="1.5"/>
        <text x="163.5" y="176" fill="#0284c7" font-size="10" font-weight="600" text-anchor="middle">COM B</text>

        
        <line x1="93" y1="97.5" x2="163.5" y2="147" stroke="#64748b" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>

        
        <line x1="50" y1="5" x2="225" y2="180" stroke="#0284c7" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,4" opacity="0.6"/>

        
        
        <circle cx="128.25" cy="122.25" r="14" fill="#ea580c" fill-opacity="0.15"/>
        <circle cx="128.25" cy="122.25" r="6" fill="#ea580c" stroke="#ffffff" stroke-width="1.5"/>
        <text x="144" y="112" fill="#ea580c" font-size="13" font-weight="700" text-anchor="start">Total COM</text>
        <text x="144" y="125" fill="#64748b" font-size="10" font-weight="600" text-anchor="start">(in open space)</text>
      </svg>
    </div>
  </div>

  <div class="legend">
    <div class="legend-item">
      <div class="sym-line-sample"></div>
      <span>Symmetry Line</span>
    </div>
    <div class="legend-item">
      <div class="com-dot-sample"></div>
      <span>Center of Mass</span>
    </div>
  </div>

  <script>
    function showTab(index) {
      const tabs = document.querySelectorAll('.tab-btn');
      const panels = document.querySelectorAll('.panel');

      tabs.forEach((tab, i) => {
        if (i === index) {
          tab.classList.add('active');
          panels[i].classList.add('active');
        } else {
          tab.classList.remove('active');
          panels[i].classList.remove('active');
        }
      });
    }
  </script>
</body>
</html>

Primera condición de equilibrio: equilibrio traslacional

Torque y momento de una fuerza respecto a un eje

Torque y equilibrio estático rotacional

Equilibrio estático en palancas, vigas y apoyos

Cálculo del centro de masa en sistemas de partículas discretas

Centro de gravedad y centroide en cuerpos geométricos regulares

Determinación experimental del centro de gravedad

science

Equilibrio estático y centro de masa

Base de sustentación y condiciones de volcamiento

Tipos de equilibrio: estable, inestable e indiferente

Estabilidad en vehículos, grúas y estructuras civiles

Biomecánica: postura y centro de masa en el cuerpo humano

Momento de inercia y distribución de masa rotacional

Análisis de armaduras y estructuras triangulares estáticas

Métodos vectoriales y simulaciones computacionales en estática

Estabilidad y aplicaciones de la estática

Torque, Rotational Equilibrium, and Center of Gravity

Moment of Inertia and Parallel Axis Theorem

Newton's Second Law for Rotation and Angular Acceleration

Rolling Motion Without Slipping and Rotational Kinetic Energy

Conservation of Angular Momentum in Isolated Systems

Rotational Statics, Torque, and Rigid Body Dynamics

Balance energético en montañas rusas y rampas curvas

Curvas de energía potencial y puntos de retorno

Energía mecánica en osciladores armónicos y péndulos

Potencia mecánica y eficiencia energética

Equivalente mecánico del calor: experimento de Joule

Energía cinética rotacional y rodamiento sin deslizamiento

Frenado de vehículos: fricción y aumento térmico

Auditorías energéticas y principio de degradación de la energía

Aplicaciones de la energía y conversiones térmicas

Retroceso y propulsión a chorro en cohetes

Fuerzas de impacto, tiempo de contacto y seguridad vial

Movimiento del centro de masa en sistemas de partículas aislados

Momento angular y su conservación en sistemas rotantes

Análisis forense de accidentes de tránsito mediante impulso

Simulación computacional de colisiones moleculares y astronómicas

Aplicaciones avanzadas del momento y sistemas de partículas

Pływanie ciał z wydrążeniami i komorami balastowymi — okręt podwodny

Nurkujący Kartezjusz — doświadczenie i wyjaśnienie fizyczne

Statyka i stateczność pływania — metacentrum i moment prostujący statku

Pływalność organizmów wodnych — pęcherz pławny u ryb i tkanka tłuszczowa u ssaków

Izostazja w geologii — pływanie bloków skorupy ziemskiej w płaszczu Ziemi

Zbiorniki i zapory wodne — obliczanie całkowitej siły parcia na ścianę zapory

Śluza wodna i pochylnia — zasada działania z punktu widzenia hydrostatyki

Inżynieryjne i przyrodnicze zastosowania hydrostatyki

Definicja środka masy dla układu punktów materialnych na prostej

Wektor położenia środka masy układu punktów w dwóch i trzech wymiarach

Środek masy bryły jednorodnej — rola symetrii geometrycznej (osie i płaszczyzny symetrii)

Środek masy układu złożonych figur płaskich — metoda podziału na części proste

Metoda mas ujemnych — wyznaczanie środka masy bryły z otworem lub wycięciem

Środek masy a środek ciężkości — różnica pojęć w jednorodnym i niejednorodnym polu grawitacyjnym

Doświadczalne wyznaczanie środka ciężkości bryły płaskiej — metoda dwukrotnego zawieszenia

Wyznaczanie środka masy i środka ciężkości brył oraz układów punktów

Prędkość i pęd środka masy układu: v_sm = p_całk / M

Ruch środka masy układu izolowanego i twierdzenie o ruchu środka masy

Druga zasada dynamiki dla ruchu środka masy: F_zewn = M · a_sm

Układ odniesienia związany ze środkiem masy (układ SM) i całkowity pęd zerowy

Przesuwanie się ludzi w łódce — obliczanie przesunięcia łódki z niezmienności środka masy

Stateczność równowagi ciał — podstawa podparcia i położenie środka ciężkości

Zadania maturalne z wyznaczania środka masy i jego ruchu

Podsumowanie: środek masy jako kluczowy punkt redukcji układu mechanicznego

Dynamika i ruch środka masy układu ciał

Pojęcie bryły sztywnej — niezmienność wzajemnych odległości punktów ciała

Ruch postępowy a ruch obrotowy bryły sztywnej — kryteria rozróżniania

Opis położenia kątowego — kąt obrotu w radianach i jego przeliczanie na stopnie

Prędkość kątowa bryły — definicja ω = Δα / Δt i jednostka rad/s

Jednakowa prędkość kątowa wszystkich punktów bryły sztywnej

Związek prędkości liniowej z prędkością kątową: v = ω · r

Przyspieszenie kątowe — definicja ε = Δω / Δt i jednostka rad/s²

Rozkład przyspieszenia liniowego punktu bryły — przyspieszenie styczne i dośrodkowe (normalne)

Podstawy kinematyki bryły sztywnej — wielkości kątowe i liniowe

Ruch obrotowy jednostajny — równania ruchu α(t) = α₀ + ω · t

Ruch obrotowy jednostajnie zmienny — wzory na ω(t) i α(t)

Wykresy kinematyczne w ruchu obrotowym: α(t), ω(t) i ε(t)

Analogia między wielkościami ruchu postępowego i obrotowego

Przekładnie zębate i pasowe — zależność prędkości kątowych i promieni kół

Zadania rachunkowe z kinematyki ruchu obrotowego bryły

Podsumowanie: kinematyka bryły sztywnej w zadaniach fizycznych

Równania ruchu, wykresy i zastosowania w kinematyce ruchu obrotowego

Definicja momentu siły względem osi i punktu: M = r · F · sin(α)

Ramię siły — definicja jako najkrótszej odległości linii działania siły od osi obrotu

Jednostka momentu siły — niutonometr (N · m) i jej odróżnienie od dżula

Reguła znaku momentu siły — obrót zgodny i przeciwny do ruchu wskazówek zegara

Pierwszy warunek równowagi bryły sztywnej — zerowanie się sumy wektorowej sił zewnętrznych

Drugi warunek równowagi bryły sztywnej — zerowanie się sumy momentów sił względem dowolnej osi

Wybór dogodnej osi obrotu w zadaniach ze statyki — eliminacja sił nieznanych

Para sił i jej moment — niezależność momentu pary sił od wyboru punktu odniesienia

Moment siły i warunki równowagi bryły sztywnej

Równowaga dźwigni jedno- i dwustronnej z uwzględnieniem ciężaru własnego belki

Belka podparta na dwóch końcach — wyznaczanie sił reakcji podpór

Drabina oparta o ścianę — warunki równowagi i minimalny współczynnik tarcia o podłoże

Wspornik i belka zamocowana przegubowo z linką napinającą (odciąg)

Doświadczalna weryfikacja warunków równowagi dla dźwigni i bryły sztywnej

Zadania maturalne ze statyki bryły sztywnej

Biomechanika układu kostno-mięśniowego jako przykład dźwigni anatomicznych

Podsumowanie i algorytm analizy zadań ze statyki bryły

Zastosowania statyki bryły sztywnej w zadaniach

Fizyczny sens momentu bezwładności jako miary bezwładności w ruchu obrotowym

Moment bezwładności układu punktów materialnych — wzór I = ∑ m_i · r_i²

Jednostka momentu bezwładności — kilogram razy metr kwadratowy (kg · m²)

Moment bezwładności cienkiego pierścienia (obręczy) względem osi symetrii: I = M · R²

Moment bezwładności jednorodnego walca pełnego i tarczy: I = 1/2 M · R²

Moment bezwładności jednorodnej kuli pełnej (I = 2/5 M R²) oraz sfery (I = 2/3 M R²)

Moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta względem osi przechodzącej przez środek: I = 1/12 M · L²

Moment bezwładności i podstawowe bryły sztywne

Twierdzenie Steinera o osiach równoległych — wzór I = I₀ + M · d²

Zastosowanie twierdzenia Steinera: moment bezwładności pręta względem jego końca: I = 1/3 M · L²

Twierdzenie Steinera dla walca obracającego się wzdłuż tworzącej

Addytywność momentu bezwładności — obliczanie I dla brył złożonych

Moment bezwładności brył z otworami i wycięciami — metoda odejmowania momentów

Wahadło fizyczne — pojęcie momentu bezwładności i okres drgań (rozszerzenie)

Zadania rachunkowe z momentu bezwładności i twierdzenia Steinera

Podsumowanie i zestawienie wzorów na momenty bezwładności podstawowych brył

Twierdzenie Steinera i moment bezwładności brył złożonych

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego — wzór M_wyp = I · ε

Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego — warunek stałości prędkości kątowej

Trzecia zasada dynamiki dla momentów sił — wzajemne oddziaływanie obrotowe

Ruch obrotowy bloczka o niepomijalnej masie M z zawieszonym ciężarkiem

Wyprowadzenie przyspieszenia liniowego ciężarka na masywnym bloczku: a = g / (1 + I / (m R²))

Maszyna Atwooda z masywnym bloczkiem — różne naciągi nici po obu stronach bloczka

Hamowanie wirującej bryły stałym momentem sił tarcia — obliczanie czasu i liczby obrotów

Zasady dynamiki ruchu obrotowego i układy z masywnym bloczkiem

Ruch obrotowy pręta zawieszonego na końcu — przyspieszenie kątowe w funkcji kąta

Ruch jo-jo i odwijanie się nici ze szpuli — przyspieszenie w spadku obrotowym

Cylinder odwijający się z dwóch taśm — dynamika spadku w polu grawitacyjnym

Koło zamachowe — gromadzenie energii i dynamika rozpędzania silnikiem

Porównanie dynamiki ruchu postępowego i obrotowego w zadaniach sprzężonych

Praca momentu siły (wzór W = M · Δα) i moc w ruchu obrotowym (P = M · ω)

Zadania maturalne z dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej

Analiza błędów i pułapek w zastosowaniu wzoru M = I · ε

Podsumowanie: dynamika bryły sztywnej jako fundament mechaniki klasycznej

Zaawansowana dynamika bryły sztywnej, praca i układy sprzężone

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej — wzór E_k,obr = 1/2 I · ω²

Całkowita energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim (twierdzenie Koeniga): E_k = 1/2 M v_sm² + 1/2 I_sm ω²

Kinematyka toczenia bez poślizgu — warunek v_sm = ω · R i chwilowy środek obrotu

Alternatywny opis toczenia jako czysty obrót wokół chwilowej osi obrotu (I_chwilowe = I_sm + M R²)

Udział energii kinetycznej postępowej i obrotowej w całkowitej energii dla różnych brył

Toczenie się brył po równi pochyłej — zasada zachowania energii mechanicznej (mgh = E_k,post + E_k,obr)

Wyścig brył staczających się z równi pochyłej — dlaczego kula wygrywa z walcem i obręczą

Doświadczenie: Badanie staczania się brył o różnych momentach bezwładności z równi pochyłej

Energia kinetyczna w ruchu płaskim i staczanie się brył

Rola tarcia statycznego w toczeniu bez poślizgu — dlaczego tarcie nie rozprasza energii mechanicznej

Dynamiczne wyprowadzenie przyspieszenia staczania z II zasady dynamiki: a = g sin(α) / (1 + k)

Toczenie z poślizgiem — przejście od tarcia kinetycznego do toczenia czystego

Ruch jo-jo w ujęciu energetycznym — zamiana energii potencjalnej na postępową i obrotową

Ruch bryły po pętli pionowej (diabelska pętla) z uwzględnieniem toczenia się kuli

Zadania maturalne z energii kinetycznej ruchu obrotowego i toczenia

Opory toczenia — fizyczna natura odkształceń podłoża i współczynnik tarcia toczenia

Podsumowanie i algorytm metody energetycznej w dynamice bryły sztywnej

Dynamika toczenia, tarcie i zaawansowane układy w ruchu płaskim

Definicja momentu pędu punktu materialnego względem punktu: L = r × p

Moment pędu w ruchu po okręgu: L = m · v · r = m · ω · r²

Moment pędu bryły sztywnej obracającej się wokół stałej osi: L = I · ω

Jednostka momentu pędu w układzie SI — kg · m² / s oraz dżul razy sekunda (J · s)

Związek momentu sił ze zmianą momentu pędu: M = ΔL / Δt

Sformułowanie zasady zachowania momentu pędu dla układu izolowanego

Zmiana momentu bezwładności a prędkość kątowa — wzór I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂

Zjawisko piruetu łyżwiarza i gimnastyka — fizyka obrotów ciała ludzkiego

Wprowadzenie do momentu pędu i zasady jego zachowania

Zmiana energii kinetycznej podczas zmiany momentu bezwładności — praca mięśni łyżwiarza

Interpretacja drugiego prawa Keplera z zasady zachowania momentu pędu

Zapadanie grawitacyjne gwiazd i powstawanie szybko wirujących pulsarów

Człowiek na obrotowym stole Żukowskiego — chodzenie po obwodzie i obrót platformy

Wsiadanie i zsiadanie z karuzeli — zderzenia niesprężyste w ruchu obrotowym

Efekt żyroskopowy — stabilność osi obrotu i zjawisko precesji (wprowadzenie)

Zadania maturalne z zasady zachowania momentu pędu

Podsumowanie: uniwersalność zasad zachowania w mechanice — energia, pęd i moment pędu

Zastosowania zasady zachowania momentu pędu i zjawiska rotacyjne

Doświadczenie: Demonstracja zasady zachowania momentu pędu na obrotowym stołku z ciężarkami

Doświadczenie: Odwrócenie osi wirującego koła rowerowego na stołku obrotowym

Doświadczenie: Badanie staczania się z równi walca pełnego i rury o jednakowej masie i promieniu

Doświadczenie: Badanie ruchu obrotowego tarczy i pierścienia na przyrządzie Oberbecka

Wyznaczanie momentu bezwładności bryły metodą drgań skrętnych (wahadło skrętne)

Wyznaczanie momentu bezwładności koła zamachowego z pomiarów czasu spadania ciężarka

Doświadczenie: Wahadło Maxwella i cykliczne przemiany energii potencjalnej w obrotową

Doświadczalne sprawdzanie twierdzenia Steinera dla pręta z przesuwną osią obrotu

Eksperymenty laboratoryjne z dynamiki bryły sztywnej

Wykorzystanie czujników cyfrowych i fotokomórek do pomiaru prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego

Analiza niepewności pomiarowych w eksperymentach z dynamiki ruchu obrotowego

Analiza zadań maturalnych opartych na opisach doświadczeń z bryły sztywnej

Żyroskop laserowy i czujniki MEMS we współczesnych smartfonach i dronach

Precesja osi Ziemi — astronomiczne konsekwencje zasady zachowania momentu pędu

Opracowanie i prezentacja pełnego raportu badawczego z dynamiki bryły sztywnej

Wielka synteza mechaniki bryły sztywnej i hydrostatyki w zakresie rozszerzonym

Pomiary cyfrowe, analiza niepewności i zastosowania dynamiki bryły sztywnej

OGS.12.PS1.8

OGS.12.PS1.8

Aligned learning resources

Related diagrams